Calculs d'inverses - Corrigé

Énoncé

1. Déterminer un inverse de \(8\) modulo \(3\) .

2. Déterminer un inverse de \(5\) modulo \(11\) .

3. Montrer que \(4\) n'est pas inversible modulo \(10\) .

Solution

1. Comme \(2 \times 8 = 16 \equiv 1 \ [3]\) , \(2\) est un inverse de \(8\) modulo \(3\) .

2. Comme \(9 \times 5 = 45 \equiv 1 \ [11]\) , \(9\) est un inverse de \(5\) modulo \(11\) .

3. On fait un tableau de congruences modulo  \(10\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline  x \equiv ... \ [10]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline  4x \equiv ... \ [10]& 0 & 4 & 8 & 2 & 6 & 0 & 4 & 8 & 2 & 6\\ \hline  \end{array}\end{align*}\)   

donc \(4x\) n'est jamais congru à \(1\) modulo \(10\) , donc \(4\) n'est pas inversible modulo \(10\) .